约瑟夫环问题

第一种算法的复杂度不太好，第二种算法主要利用了约瑟夫环的数学特性，额，现在还没完全看懂，下次接着看。
(这一部分来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)

public class Josephus {
	static void josephus( int[] A,int s, int m ) {
		int n=A.length;
        int i, j, k, tmp;
        if ( m == 0 ) {
        	System.out.println("m = 0是无效的参数！"); 
        	return;
        }

        for ( i = 0; i < n; i++ ) 
        	A[i] = i + 1;/*初始化，执行n次*/
        
        i = s - 1; /*报名起始位置*/

        for ( k = n; k > 1; k-- ) { /*逐个出局，执行n-1次*/
              if ( i == k ) //当前队列最后一个即为出局者，将i移到0
                	 i = 0;
              i = ( i + m - 1 ) % k; /*寻找出局位置*/

              if ( i != k-1 ) {
            	  tmp = A[i]; /*出局者交换到第k-1位置*/
            	  for ( j = i; j < k-1; j++ ) 
            		  A[j] = A[j+1];
                  A[k-1] = tmp;
            }
        }

        for ( k = 0; k < n / 2; k++ ) {/*全部逆置, 得到出局序列*/
                 tmp = A[k]; 
                 A[k] = A[n-k-1]; 
                 A[n-k-1] = tmp;
        }
        
        for(int v=0; v<A.length; v++)
        	System.out.print(A[v]+"  ");
	}
	
	static void josephus2( int[] A,int s, int m ) {
		int n=A.length;
		int t=0;
		for (int i = 2; i <=n; i++)
		{
			 t = (t + m) % i;
		}
		 System.out.println("The winner is "+(t+1));


	}


	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] list = new int[9];
		System.out.println("Josephus problem solution1:");		
		josephus(list,1,5);
		System.out.println("\n\nJosephus problem solution2:");		
		josephus2(list,1,5);
	}

}

第二种方法的思路:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，]，程序也是异常简单：

1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int n, m, i, s = 0;
 5     printf ("N M = ");
 6     scanf("%d%d", &n, &m);
 7     for (i = 2; i <= n; i++)
 8     {
 9         s = (s + m) % i;
10     }
11     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
12 }

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。(agin:第二种算法来自http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html)

评论

2 楼 jaychang 2011-01-21  

第二个确实简单不少，但是比较难理解，这是我的算法，可以交流下哈http://jaychang.iteye.com/admin/blogs/702077

1 楼 chriszeng87 2010-12-14  

有点明白了，

引用

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

这里的x是指(n-1)个人报数最后胜利者的编号(对应->右边的数)，x'是指n个人报数最后胜利者的编号(对应->左边的数)